Komplexes Rechnen

Hallo Technikbimbo,

da hast du einen sehr interessanten Lösungsansatz eingebracht, der mich inspririert hat, damit mal ein wenig zu experimentiren und deine Fragen dazu zu lösen. Im Dateianhang habe ich zunächst mal einige Hintergrundinfos zum Iterationsverfahren nach HERON zusammengestellt. Dann habe ich folgende UDF-Schaltungsversionen erstellt und in der Schaltung "DEMO_UDF_Wurzel_Versionsvergleich (0BA7).lsc" verglichen und deren Anwendung bzw. deren Nutzen bewertet.

a) Wurzel_opt_327.lma
Die Parameter in B012 wurden so modifiziert, dass der Ergebniswert Ax in einer Textmeldung mit 3 Nachkommastellen angezeigt werden kann. So werden im 10. (letzten) Iterationsschritt Rundungsfehler minimiert.

b) Wurzel_opt_327_V2a.lma
Die Parameter in B011 (9. Iterationsschritt) wurden so modifiziert, dass der Ergebniswert Ax mit 3 Nachkommastellen berechnet wird. Im 10. (letzten) Iterationsschritt wurden die Parameter so angepasst, dass mit dem Wert aus B011 ohne Rundung diese letzte Iteration berechnet wird (Anzeige von B012 dann ebenfalls mit 3 Nachkommastellen. Gegenüber a) ergeben sich kleine Verbesserungen für verschiedene Werte a (z.B. a = 2).

c) Wurzel_opt_32767.lma
Entsprechend den Ergebnissen in a) wurde die selbe Modifikation angewendet und zur Erweiterung des Wertebereiches für a (1 bis 32767) auf die Multiplikation von a mit 100 vor dem 1. Iterationsschritt verzichtet. Dies füht zu einer einfacheren Schaltung und beeinflusst die Iteration nur unwesendlich, weil ja auch der 1. Schätzwert für die meisten Werte a noch sehr falsch ist. Für den gesamten o.g. Wertebereich werden im Ergebnis 2 Nachkommastellen berücksichtigt. Für den Wertebereich a bis 1074 sind nach Parameteränderung auch 3 Nachkommastellen möglich.

d) Wurzel_opt_32767_V2a.lma
Entsprechend den Ergebnissen in b) wurde die selbe Modifikation angewendet und zur Erweiterung des Wertebereiches für a (1 bis 32767) auf die Multiplikation von a mit 100 vor dem 1. Iterationsschritt verzichtet. Für den gesamten o. g. Wertebereich werden im Ergebnis 2 Nachkommastellen berücksichtigt. Der Fehler des Ergebniswertes ist (abhängig vom Wert a) etwas kleiner als in der Version "Wurzel_opt_32767.lma".

e) Wurzel_opt_32767_V2b.lma
Weitere Iterationsschritte mit verbesserter Rechengenauigkeit: Die Parameter in B010 (8. Iterationsschritt) wurden so modifiziert, dass der Ergebniswert Ax mit 2 Nachkommastellen berechnet wird. Im 9. und 10. (letzten) Iterationsschritt wurden die Parameter so angepasst, dass mit dem Wert aus B010 bzw. B011 ohne Rundung diese beiden Iterationen berechnet werden (Anzeige von B012 dann ebenfalls mit 2 Nachkommastellen. Gegenüber d) ergeben sich nur bei einzelnen Werten a sehr kleine Verbesserungen (z.B. a = 2).

f) Wurzel_opt_32767_V2c.lma
Weitere Iterationsschritte mit verbesserter Rechengenauigkeit: Die Parameter in B007 (6. Iterationsschritt) wurden so modifiziert, dass der Ergebniswert Ax mit 2 Nachkommastellen berechnet wird. Im 7. bis 10. (letzten) Iterationsschritt wurden die Parameter so angepasst, dass mit dem Wert aus B007, B009, B010 bzw. B011 ohne Rundung diese Iterationen berechnet werden (Anzeige von B012 dann ebenfalls mit 2 Nachkommastellen. Gegenüber d) ergeben sich keine Verbesserungen des ergebniswertes.

====>> FAZIT:
- 10 Iterationsschritte werden benötigt und reichen aus, um die Quadratwurzel für Werte a zwischen 1 und 32767 mit 2 Nachkommastellen zu berechnen.
- Die Berechnungen sind als Schaltung ab der LOGO!-Serie 0BA6 realisierbar!

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Das Verfahren von HERON lässt sich auch verallgemeinern und insbesondere zur Iterativen Berechning der 3. Wurzel aus a (Kubikwurzel) anwenden:
Die Internetseite "http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/heronframe.htm" ist dazu sehr nützlich. Zur Prüfung einer Umsetzung mit der LOGO! und zur Optimierung des Wertebereiches für den Wert a und der Genauigkeit der Ergebnisse habe ich einige Berechnungen in EXCEL erstellt, die ihr in der Datei "Heron_QubikWurzel_LOGO_Konzeptentwicklung.xls" findet.

====>> FAZIT:
- Es ist möglich mit der LOGO! (ab 0BA6) die 3. Wurzel aus a für den Wertebereich a = 1 bis a = 32767 mit 3 Nachkommastellen (näherungsweise) zu bestimmen
- Wegen der Rundungsfehler ist auch bei hoher Iterationsanzahl keine weitere Verbesserung des Ergebniswertes möglich.
- Durch gezielte Nutzung des maximalen Analogausgangswertes eines LOGO!-Analogblocks kann die Iterationsanzahl minimiert werden (Version d in der EXCEL-Datei). So sind maximal 9 Iterationsschritte erforderlich (diese sind für einige Werte a auch zwingend notwendig). Die resultierende LOGO!-Schaltung findet ihr in der Datei "Demo_KubikWurzel_aus_a_nach HERON_V1 (0BA6).lsc".

Ich bin gespannt auf eure Kommentare.

MfG
betel

Komplexes Rechnen mit der LOGO! - Teil_2:
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arccos(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x)
und exp(x)...

Komplexes Rechnen mit der LOGO! - Teil_3:
arctan(x) und arccot(x)

Komplexes Rechnen mit der LOGO! - Teil_4:
sog. allgemeine trigonometrische Funktionen

MfG
Betel