Hallo HeadyCS,

in meiner vorhergehenden Antwort habe ich dir ja einen Beitrag genannt, über den du ein Konzept und entsprechende Hilfsmittel findest um die von dir genannte Funktion mit den Möglichkeiten der LOGO! (ab Serie 0BA6) zu realisieren.

Hast du dies versucht, bist du dabei oder hast du bereits eine Lösung erreicht? Oder benötigst du bei der Umsetzung weitere Unterstützung?

MfG
Betel

Hallo HeadyCS,

nun, mit dem von mir angegebenen Konzept und den dazu entwickelten Hilfsmitteln konnten von mir bereits verschiedene andere Aufgaben zu nichtlinearen Funktionsberechnungen mit der LOGO! gelöst werden, z. B. (So etwas findet ihr in KEINEM Fachbuch zur LOGO oder anderswo!):

- ph-Wertberechnungen (AQ = k * 10** [n-x]) und Energiemessungen (in engl. Forenteil)
- eine ASTRO-Uhr für die 0BA6 (am Beispiel des Standortes BERLIN mit maximalen Abweichungen von +/- 1 min)
- Berechnung der absoluten Feuchte und des Taupunktes auf Basis von Messungen von relativer Feuchte und Temperatur
- DALI-Dimmkurve

Ab der LOGO!-Serie 0BA6 ist es mit Hilfe des Blocks "Analoge Arithmetik" möglich, nicht nur lineare Zusammenhänge (= Polynome 1. Ordnung) zu lösen, sondern auch Polynome höherer Ordnungen (2 bis 4 oder gar 5) zu berechnen, sofern die Wertebereiche der einzelnen Terme den der Analogblöcke nicht überschreiten. Das Konzept ist nun, Daten einer Wertetabelle oder eine Funktionsgleichung in einem definierten Wertebereich zu interpolieren oder zu approximieren (anzunähern). Eine Interpolation könnte z. B. mittels kubischer Splines erfolgen (vgl. EXCEL-Dateien "splines..." im Dateianhang). Alternativ können die Daten bzw. die Funktion mittels einer oder mehrerer Teilkurven (hier Polynome 2. bis 4. (5.) Ordnung) angenähert (approximiert) werden, wobei besonders auf die Übergänge der Teilkurven zu achten ist. Beide Varianten haben ihre Vor- und Nachteile, besonders im Hinblick einer Anwendung bei der LOGO!.

Ich möchte die Anfrage von HeadyCS dazu nutzen euch das Vorgehen bezüglich der Approximation mit Polynomen erneut nahe zu bringen und so die Leistungsfähigkeit der LOGO! zu demonstrieren. Mit den von mir erstellten Hilfsmitteln erscheint dies noch immer komplex aus, aber letztendlich ist die erforderliche Datenaufbereitung und die LOGO!-Programmierung nicht mehr wirklich schwierig:

A) Auswahl an Beiträgen mit Antworten + Lösungen von mir, inklusive Dateianhänge:
- Basics: CO2 calculation - Math equations with LOGO!
- Grundlagen: Berechnung von Polynomen f(Ax) aus analogen Eingangswerten Ax
- Grundlagen: EXCEL-Tool zur Polynomregression von Datenpunkten (und Kurvenverläufen)
- Beispiel a: Astro-Uhr Höhere Genauigkeit mit Polynomregression (EXCEL)
- Beispiel b: Absolute Feuchte errechnen
- Beispiel c: Exponentielle Rampe zu verschiedenen Zeitpunkten einsetzen (DALI-Dimmkurve)
- Beispiel d: Analogwerte umrechnen

B) Hilfsmittel sind insbesondere folgende Dateien:
- DEMO_Teilkurven_eines_Analogbereiches_V01.lsc
- Hinweise_zur_Polynombildung_mit_einer_LOGO_0BA6.pdf
- DEMO_Polynomberechnung_V01 (0BA6).lsc
- PolynomRegressionDynamisch_LOGO_V4 (Basis).xls
[Anm.: Die Tabellenbätter sind gegen versehhentliches Ändern ohne PW geschützt. Die vielen verwendeten Matrix-Funktionen führen zu sehr langsamer Ausführung (Berechnung mit F9) - also viel Geduld nach Neueungaben..]

C) Vorgehen...hier am Beispiel der Approximation der nichtlinearen Funktion AQ = 1000 - Quadratwurzel(Al1 * 1000):
C1) Datei "PolynomRegressionDynamisch_LOGO_V4 (Basis).xls", Tabellenblatt "Daten AQ=f(Ax)": Hier sind die Daten einer Wertetabelle bzw. die gegebene Funktion als (x,y)-Datentabelle einzugeben. Bei einer gegebenen Funktionsgleichung sollten alle mit der LOGO! möglichen x-Werte explizit angegeben werden, denn so ist eine statistische und zahlenmäßige Bewertung an einfachsten.
Mit dem "Multiplikator" hat es nun folgende besondere Bewandnis. Die LOGO! kann einerseits nur mit gangen Zahlen rechnen, andererseits müssen alle Blockausgänge im Wertebereich von -32678 bis 32767 liegen. Wird hier (also bei der o. g. Funktion) nun der "Multiplikator" = 10 gewählt, dann wird bei den Berechnungen später mit der LOGO! quasi eine Nachkommastelle mit berücksichtigt und so Rundungsfehler verringert. Natürlich muss dieser "Multiplikator" schließlich "rückgängig" gemacht werden. (Anm.. Deshalb habe ich für diese Anwendung hier das Tabellenblatt "Regression_LOGO!" nachträglich geändert und den "Multiplikator" in den Formeln der Datentabelle eingebaut. So werden die Ergebniswerte bereits im Wertebereich 1000 bis 0 berechnet und die statistischen Daten korrekt interpretierbar.)

C2) Datei "PolynomRegressionDynamisch_LOGO_V4 (Basis).xls", Tabellenblatt "Regression": Zunächst kann man mal prüfen ob die gesamten Daten mittels eines Polynoms z´ approximiert werden können. Dazu die Ordnung des Polynomes z´ von kleinen Werten zu großen ändern...Man erkennt schnell, dass bei kleinen x-Werten die größte Kurvenkrümmung und die größten Abweichungen auftreten. Dementsprechend macht man sich nun an die Approximation mittels der Teilkurven heran. Dazu legt man empierisch die x-Bereiche der Teilkurven und deren Ordnung fest. Diese werden solange modifiziert, bis die Annäherung an die originale Gesammtkurve den Anforderungen genügt...dazu ist Geschick und viel Geduld erforderlich...Mit zunehmender Anzahl der erforderlichen Teilkurven und mit deren steigender Ordnung nimmt auch der Umfang der erforderlichen LOGO!-Programmierung zu.
Anm.: Bis hierher kann die EXCEL-Anwendung ganz allgemein bzw. universell zur Approximation von Wertetabellen oder Funktionen angewendet werden!!!

C3) Datei "PolynomRegressionDynamisch_LOGO_V4 (Basis).xls", Tabellenblatt "Regression_LOGO!": Dieses Blatt dient nun der Anpassung der Polynomkoeffizienten für eine Programmierung der LOGO!. Dazu erfolgen die Berechnungen in der Datentabelle (links) so, wie auch in einer LOGO!-Schaltung. Diese sind in den Dateien "Hinweise_zur_Polynombildung_mit_einer_LOGO_0BA6.pdf" und DEMO_Polynomberechnung_V01 (0BA6).lsc" angegeben. In den Farbfeldern rechts neben der Datentabelle sind nun, separat für jede Kurve bzw. Teilkurve abhängig von den im Blatt "Regression" vorgegebenen Parametern, die Polynomkoeffizienten aufbereitet als LOGO!-Blockparameter. Dazu wird jeder Polynomkoeffizient als Bruch berechnet. Weil die Terme höherer Ordnung durch 2 Blöcke "analoge Arithmetik" berechnet werden müssen, sind diese Brüche dann noch in Faktoren aufgeteilt. Alle FETT und BLAU dargestellten Werte stellen dann die LOGO!-Parameter dar.
Zunächst erfolgen die Berechnungen der LOGO!-Parameter mittels Formeln, die jeweils maximal große Nenner bestimmen (mit dem Ziel Rundungsfehler bei den Berechnungen mit der LOGO! zu minimieren). Für die Berechnung von "N2" wird jeweils der Wert von "N1 = f(dmi)" verwendet. Dabei können ggf. ungültige Werte für "Z2" resultieren, so dass der Wert von "N1 = f(dmi)" ggf. von Hand modifiziert werden muss (hier bei z1´ geschehen: 10 --> 1 geändert).

C4) Nun werden ggf. auf Basis der resultierenden statistischen Daten (grüne Felder) und auf Basis der zahlenmäßigen Bewertung der Übergänge von einer Teilkurve zur anderen (linke Datentabelle) bei Bedarf die Vorgabewerte der Geltungsbereiche der Teilkurven (und ggf. auch deren Ordnung) angepasst bis die Qualität der Approximaltion der gesamten Kurve im Tabellenblatt "Regression_LOGO!" den Anforderungen genügt. Dies muss ggf. mehrmals erfolgen, denn durch Rundungsfehler und ggf. Verletzungen des LOGO!-Analogwertebereiches kann es vorkommen, das die beste Regression nicht die optimale Umsetzung in die LOGO!-Parameter darstellt. Ihr solltet insbesondere den Wert der Fehlerquadratsumme minimieren, denn die Maxima der absoluten Fehler liegen häufig an den Teilkurvenrändern und geben so ggf. ein verzerrtes Bild der Approximationsgüte wieder.
(Anm.: Hier war es durchaus erfolgreich, auch z2´ mit der Ordnung 3 zu definieren. Allerdings werden dann die Kurvenübergänge ungünstiger.)

C5) Makrooptimierung: Diese habe ich wegen der bereits guten Approximation nicht ausgeführt. Die Makrooptimierung ist sehr zeitaufwändig und teilweise reagiert Excel nicht mehr. Das Konzept dabei ist so, dass
einfach empirisch die LOGO!-Parameter für definierte Bereiche durchgerechnet werden und anschließend eine Bewertung (Minima) der Daten Fehlerquadratsumme, Standardabweichung, Maximum (in der angegeben Reichenfolge) erfolgt...

C6) Hat man nun die Teilpolynome und die zugehörigen LOGO!-Parameter mit EXCEL bestimmt (vgl. Datei "PolynomRegressionDynamisch_LOGO_V4 (WurzelFunktion).xls"), dann erstellt man auf Basis der Datei "DEMO_Teilkurven_eines_Analogbereiches_V01.lsc" die Grundlage der LOGO!-Programmierung - die Aufteilung des Wertebereiches x in n Teilkurven. Mit einem LOGO!-Block "Multiplexer" können maximal 4 Teilkurven zusammengestellt werden. Weil nun aber unsere definierten Teilkurven z1´ bis z3´ an den Grenzen des x-Wertebereiches nicht exakt den Ergebniswert abbilden, haben wir bei der hier betrachteten Funktion nun 5 Bereiche für die x-Werte zu unterscheiden: x = 0, x = 1..12; x = 13..175; x = 176..999 und x = 1000. Wie man dies nun geschickt macht, findert ihr in der Datei "DEMO_Teilkurven_für_Wurzelfunktion_Basis.lsc".

C7) Nun sind noch die Polynome, unsere Teilkurven z1´ bis z3´, als LOGO!-Schaltung zu erstellen. Auf Basis der Datei "DEMO_Polynomberechnung_V01 (0BA6).lsc" werden diese nun programmiert. Das Ergebnis findet ihr in der Datei "DEMO_Teilkurven_für_Wurzelfunktion_V1.lsc". Eine PC-Simulation zeigt schnell, dass die mit EXCEL berechneten Werte (vgl. "PolynomRegressionDynamisch_LOGO_V4 (Basis).xls", Tabellenblatt "Regression_LOGO!"; linke Datentabelle) auch von der LOGO! berechnet werden - Ziel erreicht!!!

Das Ergebnis der Approximation der nichtlinearen Funktion
AQ = 1000 - Quadratwurzel(Al1 * 1000)
bilden nun die folgenden Dateien, die im Dateiangang zu diesem Beitrag enthalten sind:
- PolynomRegressionDynamisch_LOGO_V4 (WurzelFunktion).xls
- DEMO_Teilkurven_für_Wurzelfunktion_Basis.lsc
- DEMO_Teilkurven_für_Wurzelfunktion_V1.lsc

Viel Spaß und Erfolg bei der Anwendung und der Lösung eigener Aufbereitungen von Wertetabellen oder nichtlinearer Funktionen für die LOGO!

MfG
Betel

Hallo Technikbimbo,

da hast du einen sehr interessanten Lösungsansatz eingebracht, der mich inspririert hat, damit mal ein wenig zu experimentiren und deine Fragen dazu zu lösen. Im Dateianhang habe ich zunächst mal einige Hintergrundinfos zum Iterationsverfahren nach HERON zusammengestellt. Dann habe ich folgende UDF-Schaltungsversionen erstellt und in der Schaltung "DEMO_UDF_Wurzel_Versionsvergleich (0BA7).lsc" verglichen und deren Anwendung bzw. deren Nutzen bewertet.

a) Wurzel_opt_327.lma
Die Parameter in B012 wurden so modifiziert, dass der Ergebniswert Ax in einer Textmeldung mit 3 Nachkommastellen angezeigt werden kann. So werden im 10. (letzten) Iterationsschritt Rundungsfehler minimiert.

b) Wurzel_opt_327_V2a.lma
Die Parameter in B011 (9. Iterationsschritt) wurden so modifiziert, dass der Ergebniswert Ax mit 3 Nachkommastellen berechnet wird. Im 10. (letzten) Iterationsschritt wurden die Parameter so angepasst, dass mit dem Wert aus B011 ohne Rundung diese letzte Iteration berechnet wird (Anzeige von B012 dann ebenfalls mit 3 Nachkommastellen. Gegenüber a) ergeben sich kleine Verbesserungen für verschiedene Werte a (z.B. a = 2).

c) Wurzel_opt_32767.lma
Entsprechend den Ergebnissen in a) wurde die selbe Modifikation angewendet und zur Erweiterung des Wertebereiches für a (1 bis 32767) auf die Multiplikation von a mit 100 vor dem 1. Iterationsschritt verzichtet. Dies füht zu einer einfacheren Schaltung und beeinflusst die Iteration nur unwesendlich, weil ja auch der 1. Schätzwert für die meisten Werte a noch sehr falsch ist. Für den gesamten o.g. Wertebereich werden im Ergebnis 2 Nachkommastellen berücksichtigt. Für den Wertebereich a bis 1074 sind nach Parameteränderung auch 3 Nachkommastellen möglich.

d) Wurzel_opt_32767_V2a.lma
Entsprechend den Ergebnissen in b) wurde die selbe Modifikation angewendet und zur Erweiterung des Wertebereiches für a (1 bis 32767) auf die Multiplikation von a mit 100 vor dem 1. Iterationsschritt verzichtet. Für den gesamten o. g. Wertebereich werden im Ergebnis 2 Nachkommastellen berücksichtigt. Der Fehler des Ergebniswertes ist (abhängig vom Wert a) etwas kleiner als in der Version "Wurzel_opt_32767.lma".

e) Wurzel_opt_32767_V2b.lma
Weitere Iterationsschritte mit verbesserter Rechengenauigkeit: Die Parameter in B010 (8. Iterationsschritt) wurden so modifiziert, dass der Ergebniswert Ax mit 2 Nachkommastellen berechnet wird. Im 9. und 10. (letzten) Iterationsschritt wurden die Parameter so angepasst, dass mit dem Wert aus B010 bzw. B011 ohne Rundung diese beiden Iterationen berechnet werden (Anzeige von B012 dann ebenfalls mit 2 Nachkommastellen. Gegenüber d) ergeben sich nur bei einzelnen Werten a sehr kleine Verbesserungen (z.B. a = 2).

f) Wurzel_opt_32767_V2c.lma
Weitere Iterationsschritte mit verbesserter Rechengenauigkeit: Die Parameter in B007 (6. Iterationsschritt) wurden so modifiziert, dass der Ergebniswert Ax mit 2 Nachkommastellen berechnet wird. Im 7. bis 10. (letzten) Iterationsschritt wurden die Parameter so angepasst, dass mit dem Wert aus B007, B009, B010 bzw. B011 ohne Rundung diese Iterationen berechnet werden (Anzeige von B012 dann ebenfalls mit 2 Nachkommastellen. Gegenüber d) ergeben sich keine Verbesserungen des ergebniswertes.

====>> FAZIT:
- 10 Iterationsschritte werden benötigt und reichen aus, um die Quadratwurzel für Werte a zwischen 1 und 32767 mit 2 Nachkommastellen zu berechnen.
- Die Berechnungen sind als Schaltung ab der LOGO!-Serie 0BA6 realisierbar!

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Das Verfahren von HERON lässt sich auch verallgemeinern und insbesondere zur Iterativen Berechning der 3. Wurzel aus a (Kubikwurzel) anwenden:
Die Internetseite "http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/heronframe.htm" ist dazu sehr nützlich. Zur Prüfung einer Umsetzung mit der LOGO! und zur Optimierung des Wertebereiches für den Wert a und der Genauigkeit der Ergebnisse habe ich einige Berechnungen in EXCEL erstellt, die ihr in der Datei "Heron_QubikWurzel_LOGO_Konzeptentwicklung.xls" findet.

====>> FAZIT:
- Es ist möglich mit der LOGO! (ab 0BA6) die 3. Wurzel aus a für den Wertebereich a = 1 bis a = 32767 mit 3 Nachkommastellen (näherungsweise) zu bestimmen
- Wegen der Rundungsfehler ist auch bei hoher Iterationsanzahl keine weitere Verbesserung des Ergebniswertes möglich.
- Durch gezielte Nutzung des maximalen Analogausgangswertes eines LOGO!-Analogblocks kann die Iterationsanzahl minimiert werden (Version d in der EXCEL-Datei). So sind maximal 9 Iterationsschritte erforderlich (diese sind für einige Werte a auch zwingend notwendig). Die resultierende LOGO!-Schaltung findet ihr in der Datei "Demo_KubikWurzel_aus_a_nach HERON_V1 (0BA6).lsc".

Ich bin gespannt auf eure Kommentare.

MfG
betel

Komplexes Rechnen mit der LOGO! - Teil_2:
sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x),
arccos(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x)
und exp(x)...

Komplexes Rechnen mit der LOGO! - Teil_3:
arctan(x) und arccot(x)

Komplexes Rechnen mit der LOGO! - Teil_4:
sog. allgemeine trigonometrische Funktionen

MfG
Betel