Komplexes Rechnen mit der LOGO (Teil_2)

Hallo liebe LOGO!-Gemeinde,

immer wieder werden Aufgabenstellungen hier im Forum eingebracht und Problemlösungen erbeten, die scheinbar über die Möglichkeiten der LOGO! hinausgehen. U. A gehören dazu Berechnungen und Auswertungen von nichtlinearen Kurvenverläufen oder Funktionen. Ein Schwerpunkt meines Wirkens hier im Forum ist die Erarbeitung von Konzepten und Schaltungen für solche Anfragen und Aufgabenstellungen. Meine Antworten im Beitrag "Komplexes Rechnen" sowie besonders meine Beiträge "Berechnung von Polynomen f(Ax) aus analogen Eingangswerten Ax" und "EXCEL-Tool zur Polynomregression von Datenpunkten (und Kurvenverläufen)" bilden einschließlich der dort verlinkten Beiträge die wesentlichen Grundlagen und den Einstieg zur Lösung vieler eurer Aufgabenstellungen zu konkreten Lösungen.

Der Block "Analoge Arithmetik" (ab LOGO!-Serie 0BA6 anwendbar) ermöglicht auch die Anwendung von Faktoren k mit Nachkommastellen. Dazu kann man im allgemeinen Fall Faktoren k mit Dezimalstellen durch einen Bruch aus ganzen Zahlen nachbilden, z. B. den Faktor k = 0,0003 durch "* 3 / 10000 ...."

AXoutput = V1(=Ax) * V2(=3) / V3(=10000) + V4(=offset) .... Gleichung im Vergleich zum Block "Analogverstärker" Gain * Ax + Offset

Diese Vorgehensweise wird möglich bzw. begünstigt durch die folgenden beiden (von mir im Forum bereits veröffentlichten) Feststellungen:

1. Der Block "Analoge Arithmetik" arbeitet INTERN mit Dezimalzahlen, so dass das berechnete Ergebnis erst am (bzw. für den) Blockausgang auf eine ganze Zahl, im üblichen Wertebereich von -32768...32767, gerundet wird.
--> Dies trägt natürlich ganz wesentlich zur Verbesserung und Erweiterung von "Berechnungen" bei !!!

2. Der Block "Analoge Arithmetik" arbeitet INTERN mit einem wesentlich größeren Wertebereich als ansonsten für die analogen Blöcke festgelegt ist. Erst am Blockausgang wird der berechnete Wert auf den üblichen Wertebereich von -32768...32767 begrenzt.
--> Auch diese Eigenschaft ermöglicht deutlich erweiterte "Berechnungen" als sie ansonsten mit der LOGO! möglich sind!!!

3. Der Block "Analoge Arithmetik" erlaubt die Berechnung von Polynomen mit einer Polynomordnung m größer als 1 (m = 1 entspricht einer Geraden)

Ganz wesentlich trägt nun die Vorbereitung und eine geeignete Datenaufbereitung dazu bei, o. g. Eigenschaften des Blocks "Analoge Arithmetik" nutzen und Lösungen für die LOGO! entwickeln zu können. Ein ganz wesentliches Konzept ist die Verwendung von Näherungen (bzw. Approximationen) für Kurvenverläufe oder mathematische Funktionen, z. B. durch Polynomregression oder Iteration (wie im Forum von mir bereits mehrfach veröffentlicht und angewendet). In diesem Beitrag stelle ich euch nun eine weitere Variante der näherungsweisen Berechnung von Funktionen mittels Taylorreihenentwicklung vor. Die daraus abgeleiteten Taylorpolynome haben die Besonderheit, dass die Koeffizienten der Terme der Ordnung m+1 aus den Koeffizienten der Terme der Ordnung m berechnet werden können. Für die LOGO! bedeutet dies, dass Polynome mit hoher Ordnung unter Anwendung einer entsprechnden Anzahl von Blöcken "Analoge Arithmetik" berechnet werden können...

Mit MS-EXCEL habe ich für folgende Funktionen Taylorpolynome unterschiedlicher Ordnungen berechnet und so jeweils eine Mindestordnung ermittelt um jeweils eine genügende Annäherung an die Originalfunktion zu erreichen:

a) sin(x), cos(x), tan(x) und cot(x)

b) arcsin(x) und arccos(x)

c) exp(x) und exp(-x)

d) sinh(x), cosh(x), tanh(x) und coth(x)

In den beigefügten EXCEL-Tabellen werden dann jeweils weiter rechts entsprechende Berechnungen auf Basis der eingeschränkten Möglichkeiten der LOGO! durchgeführt:

a) Die Spalten enthalten jeweils die Berechnung eines Terms der Ordnung n mit einem Block "Analoge Arithmetik".
b) Weil alle diese Blöcke in der LOGO! "abgeschlossen" werden müssen, habe ich dafür Blocke "Komparator" vorgesehen und diese möglichst so mit den Blöcken aus a) verschaltet (hier zunächst gedanklich - später dann in der LOGO!-Schaltung real), dass deren Ergebniswerte "Ax-Ay" für die Berechnung des Polynoms weitgehend verwendet werden können. Dazu sind in einer Zeile oberhalb der Tabellenköpfe jeweils Ziffern paarweise eingetragen, die die Nummer eines Blockes "Komparator" symbolisch darstellen.
c) Darüber sind jeweils für die farblich markierten Spalten "LOGO!-Nachkommastellen" n_i angegeben. Diese werden verwendet, um in der LOGO! die EXCEL-Gleitkommawerte durch Multiplikation mit 10 hoch n_i in Ganzzahlen zu überführen und so Rundungsfehler zu minimieren...
d) Die Formeln, die jeweils die Polynome aus den Spaltenwerten für die Terme berechnen, sind so angelegt, dass diese mittels einer LOGO!-Schaltung aus den Blöcken "Analoge Arithmetik", "Komparator" und ggf. "Analogverstärker" gebildet bzw. berechnet werden können!

Ja, da steckt einiges an Mathematik und Know-How drin...Ihr könnt ggf. auch einfach nur die Schaltungen anwenden...

FAZIT:
Die o. g. Funktionen lassen sich recht gut mit der LOGO! realisieren! Die dazu benötigte Blockanzahl ist deutlich unterschiedlich.

Aus diesen Vorbereitungen bzw. Vorberechnungen in MS-EXCEL sind dann die im Dateianhang enthaltenen LOGO!-Schaltungen von mir entwickelt worden, die die o. g. Funktionen in jeweils möglichst großen Intervallen für den Wert x berechnen können. Die Schaltungen enthalten zum Teil Optionen, mit denen z. B. eine Funktion oder die Anzahl der Nachkommastellen des Ergebniswertes ausgewählt werden können bzw. müssen. Werden kleinere Intervalle für x benötigt bzw. verwendet, dann kann die Genauigkeit deutlich bzw. ggf. die Anzahl der Nachkommastellen entsprechend erhöht werden, wie dies z. B. bei den hyperbolischen Funktionen von mir realisiert wurde ...

Soooo...nun wird hoffentlich niemand hier im Forum weiterhin antworten: "...sin(x) berechnen geht mit der LOGO! nicht!" ...., denn es geht doch!

MfG

Betel

Auswahl an Beiträgen zum Thema "komplexes Rechnen mit der LOGO!" mit Antworten + Lösungen von mir (beachtet jeweils auch die jeweiligen Dateianhänge):

A)Basics + Grundlagen zur Polynomregression:

a1) CO2 calculation - Math equations with LOGO!

a2) Gleitpunktberechnung mit LOGO!

a3) Hinweise zum Prüfen bzw. Vergleichen von Analogwerten mit einer Konstanten und miteinander

B) Berechnung von Polynomen f(Ax) aus analogen Eingangswerten Ax

C) EXCEL-Tool zur Polynomregression von Datenpunkten (und Kurvenverläufen)

- Beispiel a: Astro-Uhr Höhere Genauigkeit mit Polynomregression (EXCEL)

für LOGO!-Serie 0BA4
für LOGO!-Serie 0BA5
für LOGO!-Serie 0BA6

- Beispiel b: Absolute Feuchte errechnen

- Beispiel c: Exponentielle Rampe zu verschiedenen Zeitpunkten einsetzen (DALI-Dimmkurve)

- Beispiel d: Analogwerte umrechnen

- Beispiel e: Mit Logo 2 Eingangssignale vergleichen - lineare Gerade (Steigung) - Kompressorschutz programmieren

- Beispiel f: acos(x)-Berechnung (alt, also noch mit Polynomregression)

D) andere Näherungsverfahren:

d1) Iterationsverfahren nach HERON:Quadrat- und Kubik-Wurzel aus (x)

d2) Komplexes Rechnen (mit der LOGO! - Teil_1)
{d. h. meine Antworten dazu}

Komplexes Rechnen mit der LOGO! - Teil_2:
sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x),
arccos(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x)
und exp(x)...

Komplexes Rechnen mit der LOGO! - Teil_3:
arctan(x) und arccot(x)

Komplexes Rechnen mit der LOGO! - Teil_4:
sog. allgemeine trigonometrische Funktionen